Explicando Cálculos de Limites - Resoluções de casos

A resolução apresentada na imagem demonstra o cálculo do limite da função racional 

$\frac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - 4}$ quando $x \to 2$. Vamos detalhar o raciocínio e os passos:

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1. Análise Inicial:

A função dada é uma fração polinomial:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - 4}$$

Se substituirmos diretamente $x = 2$, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero, resultando em uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$. Isso indica que é necessário manipular a expressão para simplificá-la.

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2. Fatoração dos Polinômios:

Os polinômios no numerador e denominador são fatorados para eliminar termos comuns:

• Numerador: $x^2 - 7x + 10$ é fatorado como $(x - 2)(x - 5)$.
• Denominador: $x^2 - 4$ é uma diferença de quadrados, fatorada como $(x - 2)(x + 2)$.

Substituindo as fatorações, temos:

$$\frac{x^2 - 7x + 10}{x^2 - 4} = \frac{(x - 2)(x - 5)}{(x - 2)(x + 2)}.$$

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3. Simplificação:

O termo comum $(x - 2)$ no numerador e no denominador é eliminado, desde que $x \neq 2$. Após simplificar, resta:

$$\frac{(x - 2)(x - 5)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 5}{x + 2}.$$

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4. Substituição Direta:

Agora, a função simplificada $\frac{x - 5}{x + 2}$ pode ser avaliada diretamente no ponto $x = 2$:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x - 5}{x + 2} = \frac{2 - 5}{2 + 2} = \frac{-3}{4}.$$

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5. Resultado Final:

O limite da função é:

$$\boxed{-\frac{3}{4}}$$

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Resumo do Processo:

1. Detectou-se a indeterminação $\frac{0}{0}$.
2. Fatoraram-se os polinômios no numerador e denominador.
3. Simplificou-se a expressão eliminando o fator comum $(x - 2)$.
4. Avaliou-se o limite pela substituição direta na expressão simplificada.

Esse método é padrão para resolver limites envolvendo frações polinomiais com indeterminação inicial. Se precisar de mais detalhes ou outro exemplo, é só pedir!