Cálculo de Limites tendendo a uma constante

Aqui estão 10 exercícios de cálculo de limites onde as funções tendem a uma constante, seguidos das respectivas soluções:

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Exercícios

1. $\lim_{x \to 2} (3x + 5)$

2. $\lim_{x \to -1} (x^2 - 2x + 1)$

3. $\lim_{x \to 0} \frac{x + 4}{2}$

4. $\lim_{x \to 3} \sqrt{x + 6}$

5. $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$

6. $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}$

7. $\lim_{x \to -2} (2x^2 + 3x + 5)$

8. $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

9. $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 + x - 3}{x - 1}$

10. $\lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)^2 - 16}{x - 2}$

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Soluções

1. $\lim_{x \to 2} (3x + 5)$

Substituímos $x = 2$:

$$\lim_{x \to 2} (3x + 5) = 3(2) + 5 = 11.$$

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2. $\lim_{x \to -1} (x^2 - 2x + 1)$

Substituímos $x = -1$:

$$\lim_{x \to -1} (x^2 - 2x + 1) = (-1)^2 - 2(-1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4.$$

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3. $\lim_{x \to 0} \frac{x + 4}{2}$

Substituímos $x = 0$:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x + 4}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2.$$

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4. $\lim_{x \to 3} \sqrt{x + 6}$

Substituímos $x = 3$:

$$\lim_{x \to 3} \sqrt{x + 6} = \sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3.$$

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5. $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5}$

Fatoramos o numerador:

$$\frac{x^2 - 25}{x - 5} = \frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5}.$$

Cancelamos $x - 5$:

$$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 25}{x - 5} = \lim_{x \to 5} (x + 5) = 5 + 5 = 10.$$

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6. $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}$

Fatoramos o numerador usando a diferença de cubos:

$$\frac{x^3 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}.$$

Cancelamos $x - 1$:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1^2 + 1 + 1 = 3.$$

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7. $\lim_{x \to -2} (2x^2 + 3x + 5)$

Substituímos $x = -2$:

$$\lim_{x \to -2} (2x^2 + 3x + 5) = 2(-2)^2 + 3(-2) + 5 = 2(4) - 6 + 5 = 8 - 6 + 5 = 7.$$

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8. $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

Racionalizamos o numerador:

$$\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}.$$

Cancelamos $x - 4$:

$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}.$$

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9. $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 + x - 3}{x - 1}$

Fatoramos o numerador:

$$2x^2 + x - 3 = (x - 1)(2x + 3).$$

Cancelamos $x - 1$:

$$\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 + x - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 3) = 2(1) + 3 = 5.$$

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10. $\lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)^2 - 16}{x - 2}$

Expandimos o numerador:

$$(x + 2)^2 - 16 = x^2 + 4x + 4 - 16 = x^2 + 4x - 12.$$

Fatoramos:

$$\frac{(x + 2)^2 - 16}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2}.$$

Cancelamos $x - 2$:

$$\lim_{x \to 2} \frac{(x + 2)^2 - 16}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 6) = 2 + 6 = 8.$$

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Esses exercícios cobrem os principais tipos de cálculos de limites envolvendo constantes e são ótimos para treinar! 😊