10 prompts (sugestões de exercícios ou temas), voltados para o estudo de Limites, Derivadas e Cálculo Diferencial.

 Aqui estão 10 prompts (sugestões de exercícios ou temas) em português, voltados para o estudo de Limites, Derivadas e Cálculo Diferencial. Esses exercícios cobrem desde conceitos básicos até mais avançados, promovendo uma compreensão profunda dos tópicos.

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1. Limite Básico de uma Função Polinomial

• Prompt: Calcule o limite da seguinte função quando $x \to 3$: $$\lim_{x \to 3} (4x^2 - 7x + 2).$$ Objetivo: Resolver utilizando a substituição direta.

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2. Limite com Indeterminação $\frac{0}{0}$

• Prompt: Calcule o limite da expressão: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}.$$ Objetivo: Identificar e resolver uma indeterminação $\frac{0}{0}$ através da fatoração.

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3. Limite com Raiz Quadrada

• Prompt: Calcule o limite: $$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}.$$ Objetivo: Utilizar a técnica de multiplicação pelo conjugado para simplificar a expressão.

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4. Derivada de Função Polinomial

• Prompt: Determine a derivada da função $f(x) = 5x^3 - 3x^2 + 2x - 1$. Objetivo: Aplicar as regras de derivação para funções polinomiais.

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5. Derivada de Função Trigonométrica

• Prompt: Calcule a derivada de $f(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)$. Objetivo: Aplicar a regra do produto para derivadas de funções trigonométricas.

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6. Aplicação de Derivada para Máximos e Mínimos

• Prompt: Encontre os pontos críticos e determine se são máximos ou mínimos para a função $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$. Objetivo: Encontrar a derivada, resolver $f'(x) = 0$ e aplicar o teste da segunda derivada.

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7. Limite no Infinito

• Prompt: Calcule o limite da função $f(x) = \frac{2x^2 + 3x}{x^2 - x + 1}$ quando $x \to \infty$. Objetivo: Analisar o comportamento assintótico de uma função racional no infinito.

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8. Derivada de Função Composta

• Prompt: Calcule a derivada de $f(x) = \ln(2x^2 + 3x)$. Objetivo: Utilizar a regra da cadeia para calcular a derivada de uma função composta.

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9. Problema de Taxa de Variação

• Prompt: Uma bola é lançada para o alto e sua altura, em metros, é dada pela função $h(t) = -5t^2 + 20t + 10$, onde $t$ é o tempo em segundos. Determine a taxa de variação da altura quando $t = 2$ segundos. Objetivo: Encontrar a derivada e calcular a taxa de variação em um momento específico.

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10. Limite de Função Exponencial

• Prompt: Calcule o limite: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}.$$ Objetivo: Aplicar o conceito de limite exponencial para calcular um limite clássico.