10 exemplos de cálculos de limites, com a resolução completa de cada um.

 

Exemplo 1: Limite de uma função polinomial

Problema: Calcule o limite $\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1)$.

Resolução: Como a função $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ é polinomial, podemos simplesmente substituir $x = 2$ diretamente:

$$\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1) = 3(2)^2 - 5(2) + 1 = 3(4) - 10 + 1 = 12 - 10 + 1 = 3.$$

Resposta: $\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1) = 3$.

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Exemplo 2: Limite com fração simples

Problema: Calcule o limite $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$.

Resolução: Primeiro, observamos que a expressão $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ pode ser fatorada. A fatoração de $x^2 - 1$ é:

$$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).$$

Assim, a expressão original se torna:

$$\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}.$$

Para $x \neq 1$, podemos simplificar $(x - 1)$ no numerador e denominador, ficando com:

$$x + 1.$$

Agora, substituímos $x = 1$:

$$\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2.$$

Resposta: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$.

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Exemplo 3: Limite infinito

Problema: Calcule o limite $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x}{x^3 - 3x + 4}$.

Resolução: Quando $x \to \infty$, o termo de maior grau tanto no numerador quanto no denominador dominará. Aqui, o termo dominante é $x^3$. Então, podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por $x^3$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x}{x^3 - 3x + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x^2}}{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{4}{x^3}}.$$

À medida que $x \to \infty$, os termos $\frac{2}{x^2}$, $\frac{3}{x^2}$ e $\frac{4}{x^3}$ tendem a 0. Logo, o limite é:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{5 + 0}{1 + 0 + 0} = 5.$$

Resposta: $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 + 2x}{x^3 - 3x + 4} = 5$.

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Exemplo 4: Limite com raiz quadrada

Problema: Calcule o limite $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$.

Resolução: Esse limite apresenta uma forma indeterminada $\frac{0}{0}$ quando substituímos $x = 4$. Para resolvê-lo, multiplicamos e dividimos por $\sqrt{x} + 2$, que é o conjugado do numerador:

$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}.$$

No numerador, temos uma diferença de quadrados:

$$(\sqrt{x})^2 - 2^2 = x - 4.$$

Portanto, a expressão se simplifica para:

$$\lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2}.$$

Substituindo $x = 4$:

$$\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}.$$

Resposta: $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{1}{4}$.

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Exemplo 5: Limite com exponenciais

Problema: Calcule o limite $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$.

Resolução: Este é um limite padrão que resulta na definição da derivada da função $e^x$ no ponto $x = 0$. O valor do limite é conhecido e pode ser calculado diretamente:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.$$

Resposta: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$.

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Exemplo 6: Limite com senos e cossenos

Problema: Calcule o limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$.

Resolução: Este é outro limite fundamental, conhecido como limite trigonométrico. O valor do limite é:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1.$$

Resposta: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$.

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Exemplo 7: Limite com indeterminação $\frac{0}{0}$

Problema: Calcule o limite $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Resolução: Neste caso, ao substituir $x = 2$, obtemos uma forma indeterminada $\frac{0}{0}$. Vamos fatorar o numerador:

$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).$$

A expressão se simplifica para:

$$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}.$$

Cancelando $x - 2$ (para $x \neq 2$):

$$x + 2.$$

Agora, substituímos $x = 2$:

$$2 + 2 = 4.$$

Resposta: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$.

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Exemplo 8: Limite com indeterminação $\frac{\infty}{\infty}$

Problema: Calcule o limite $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x}{2x^2 + 4x + 1}$.

Resolução: Como tanto o numerador quanto o denominador têm grau 2, dividimos todos os termos por $x^2$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x}{2x^2 + 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{x}}{2 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}.$$

À medida que $x \to \infty$, os termos $\frac{5}{x}$, $\frac{4}{x}$ e $\frac{1}{x^2}$ tendem a 0, então o limite é:

$$\frac{3}{2}.$$

Resposta: ( \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 5x}{2x^2 + 4x + 1} = \frac{3}{