Cálculo: Limites de funções reais.

Os limites de funções reais são um conceito fundamental em cálculo e análise matemática. Eles expressam o comportamento de uma função à medida que o valor da variável independente (geralmente $x$) se aproxima de um determinado ponto ou infinito. Abaixo estão exemplos e explicações para entender melhor o conceito.

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1. Limite em um ponto finito

Exemplo:

Seja a função $f(x) = 2x + 3$. Queremos calcular o limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de $1$.

$$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (2x + 3)$$

Cálculo: Substituímos $x$ diretamente por $1$:

$$f(1) = 2(1) + 3 = 5$$

Portanto,

$$\lim_{x \to 1} f(x) = 5$$

Explicação:

Nesse caso, como $f(x)$ é uma função contínua, o limite é o próprio valor da função no ponto. Isso ocorre porque não há interrupções, saltos ou indefinições em $x = 1$.

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2. Limite no infinito

Exemplo:

Seja a função $g(x) = \frac{1}{x}$. Queremos calcular:

$$\lim_{x \to \infty} g(x)$$

Cálculo: À medida que $x$ aumenta indefinidamente ($x \to \infty$), o valor de $\frac{1}{x}$ diminui progressivamente, aproximando-se de $0$.

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

Explicação:

Isso reflete o fato de que, quanto maior for $x$, menor será o valor de $g(x)$, mas ele nunca atinge $0$. Esse é um exemplo de comportamento assintótico.

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3. Limite lateral

Exemplo:

Seja a função $h(x) = \begin{cases} x^2, & \text{se } x < 0 \\ 2x, & \text{se } x \geq 0 \end{cases}$

Queremos calcular o limite de $h(x)$ quando $x \to 0$ pelo lado esquerdo ($x \to 0^-$) e pelo lado direito ($x \to 0^+$).

Cálculo:

• Para $x \to 0^-$ (lado esquerdo), $h(x) = x^2$:

$$\lim_{x \to 0^-} h(x) = (0)^2 = 0$$

• Para $x \to 0^+$ (lado direito), $h(x) = 2x$:

$$\lim_{x \to 0^+} h(x) = 2(0) = 0$$

Como os limites laterais são iguais, podemos dizer que:

$$\lim_{x \to 0} h(x) = 0$$

Explicação:

Os limites laterais verificam o comportamento da função à esquerda e à direita de um ponto. Quando ambos são iguais, o limite geral no ponto existe e é igual ao valor comum.

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4. Limite de função indefinida

Exemplo:

Seja $k(x) = \frac{1}{x}$. Vamos analisar $\lim_{x \to 0} k(x)$.

Cálculo:

• Quando $x \to 0^+$, $k(x) = \frac{1}{x} \to +\infty$.
• Quando $x \to 0^-$, $k(x) = \frac{1}{x} \to -\infty$.

Os limites laterais são diferentes. Portanto, o limite não existe.

Explicação:

Nesse caso, a função diverge para valores diferentes dependendo do lado de onde $x$ se aproxima de $0$. Isso significa que o limite geral em $x = 0$ não existe.

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Resumo dos Tipos de Limites:

1. Limites em pontos finitos: Avaliam o comportamento de $f(x)$ à medida que $x$ se aproxima de um valor finito.
2. Limites no infinito: Analisam o comportamento da função quando $x \to \infty$ ou $x \to -\infty$.
3. Limites laterais: Observam o comportamento à esquerda ($x \to a^-$) e à direita ($x \to a^+$) de um ponto.
4. Limites que não existem: Ocorrem quando os limites laterais divergem ou são infinitos.

Esses conceitos são amplamente usados para estudar continuidade, derivadas e integrais, formando a base do cálculo diferencial e integral.