Cálculos de Equações do Segundo Grau

Exercícios Resolvidos sobre Equações do Segundo Grau

Equação do Segundo Grau: Conceito

Uma equação do segundo grau é representada na forma geral:
$ax^2 + bx + c = 0$
Onde: 

• $a, b, c$ são números reais e $a \neq 0$.
• As soluções podem ser encontradas pela fórmula de Bhaskara:
  $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a},$
  onde $\Delta = b^2 - 4ac$.

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Exercícios Resolvidos

1. Resolva: $x^2 - 5x + 6 = 0$

• $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.
• Calculando $\Delta$:
  $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1.$
• Soluções:
  $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 \pm 1}{2}.$
  $x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2.$
• Resposta: $x = 3$ e $x = 2$.

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2. Resolva: $2x^2 + 4x - 6 = 0$

• $a = 2$, $b = 4$, $c = -6$.
• Calculando $\Delta$:
  $\Delta = 4^2 - 4(2)(-6) = 16 + 48 = 64.$
• Soluções:
  $x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2(2)} = \frac{-4 \pm 8}{4}.$
  $x_1 = \frac{-4 + 8}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{-4 - 8}{4} = -3.$
• Resposta: $x = 1$ e $x = -3$.

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3. Resolva: $x^2 - 4x + 4 = 0$

• $a = 1$, $b = -4$, $c = 4$.
• Calculando $\Delta$:
  $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0.$
• Solução única:
  $x = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2.$
• Resposta: $x = 2$.

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4. Resolva: $3x^2 + 2x - 8 = 0$

• $a = 3$, $b = 2$, $c = -8$.
• Calculando $\Delta$:
  $\Delta = 2^2 - 4(3)(-8) = 4 + 96 = 100.$
• Soluções:
  $x = \frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2(3)} = \frac{-2 \pm 10}{6}.$
  $x_1 = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{-2 - 10}{6} = -2.$
• Resposta: $x = \frac{4}{3}$ e $x = -2$.

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5. Resolva: $x^2 + x - 12 = 0$

• $a = 1$, $b = 1$, $c = -12$.
• Calculando $\Delta$:
  $\Delta = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49.$
• Soluções:
  $x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{-1 \pm 7}{2}.$
  $x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4.$
• Resposta: $x = 3$ e $x = -4$.

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6. Resolva: $5x^2 - 15x + 10 = 0$

• $a = 5$, $b = -15$, $c = 10$.
• Calculando $\Delta$:
  $\Delta = (-15)^2 - 4(5)(10) = 225 - 200 = 25.$
• Soluções:
  $x = \frac{-(-15) \pm \sqrt{25}}{2(5)} = \frac{15 \pm 5}{10}.$
  $x_1 = \frac{15 + 5}{10} = 2, \quad x_2 = \frac{15 - 5}{10} = 1.$
• Resposta: $x = 2$ e $x = 1$.

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7. Resolva: $x^2 + 2x + 1 = 0$

• $a = 1$, $b = 2$, $c = 1$.
• Calculando $\Delta$:
  $\Delta = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0.$
• Solução única:
  $x = \frac{-2}{2(1)} = -1.$
• Resposta: $x = -1$.

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8. Resolva: $2x^2 - 3x + 1 = 0$

• $a = 2$, $b = -3$, $c = 1$.
• Calculando $\Delta$:
  $\Delta = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1.$
• Soluções:
  $x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{3 \pm 1}{4}.$
  $x_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}.$
• Resposta: $x = 1$ e $x = \frac{1}{2}$.

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9. Resolva: $x^2 - 3x + 10 = 0$

• $a = 1$, $b = -3$, $c = 10$.
• Calculando $\Delta$:
  $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(10) = 9 - 40 = -31.$
• Como $\Delta < 0$, não há soluções reais.
• Resposta: Não existem soluções reais.

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10. Resolva: $4x^2 - 12x + 9 = 0$

• $a = 4$, $b = -12$, $c = 9$.
• Calculando $\Delta$:
  $\Delta = (-12)^2 - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0.$
• Solução única:
  $x = \frac{-(-12)}{2(4)} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}.$
• Resposta: $x = \frac{3}{2}$.

Esses exercícios abrangem casos com diferentes tipos de $\Delta$, ajudando a compreender melhor o tema!