Circulo, Circunferência e Corda

 A imagem que mostra um círculo com uma corda (segmento de reta) e um ângulo central.

Na imagem temos:

• Um círculo com raio r
• Uma corda com comprimento s = 3 unidades
• A distância do centro à corda é 2 unidades
• Um ângulo θ formado pelos raios que interceptam as extremidades da corda

Vamos resolver usando trigonometria e relações no círculo:

1. Usando o triângulo retângulo formado:

• A hipotenusa é o raio r
• Um cateto é 2 (distância do centro à corda)
• Metade da corda (s/2 = 1.5) é o outro cateto

2. Pelo Teorema de Pitágoras: r² = 2² + 1.5² r² = 4 + 2.25 r = √6.25 ≈ 2.5 unidades
3. O ângulo θ pode ser encontrado: cos(θ/2) = 2/r = 2/2.5 = 0.8 θ = 2 * arccos(0.8) ≈ 73.74°

Aqui estão 5 exercícios exemplo:

1. Se o raio do círculo for 5 unidades e a distância do centro à corda for 3 unidades, determine o comprimento da corda.
2. Em um círculo de raio 4 unidades, uma corda tem comprimento 6 unidades. Calcule a distância do centro à corda.
3. Se o ângulo central θ é 60° e o raio é 6 unidades, determine o comprimento da corda.
4. Uma corda de comprimento 8 unidades está a uma distância de 3 unidades do centro de um círculo. Determine o raio do círculo.
5. Em um círculo de raio 10 unidades, determine o ângulo central formado por uma corda de comprimento 12 unidades

Vou resolver os 5 exercícios passo a passo:

1. Raio = 5 unidades, distância do centro à corda = 3 unidades. Determine o comprimento da corda.

Solução:

• Usando o triângulo retângulo formado pelo raio, a distância do centro à corda e metade da corda
• Seja s/2 a metade do comprimento da corda (que queremos encontrar)
• Pelo Teorema de Pitágoras: r² = (s/2)² + h²
• 5² = (s/2)² + 3²
• 25 = (s/2)² + 9
• (s/2)² = 16
• s/2 = 4
• s = 8 unidades

2. Raio = 4 unidades, corda = 6 unidades. Calcule a distância do centro à corda.

Solução:

• Seja h a distância do centro à corda (que queremos encontrar)
• Metade da corda = 6/2 = 3 unidades
• Pelo Teorema de Pitágoras: 4² = 3² + h²
• 16 = 9 + h²
• h² = 7
• h = √7 ≈ 2.65 unidades

3. Ângulo central θ = 60° e raio = 6 unidades. Determine o comprimento da corda.

Solução:

• A corda é o dobro do seno da metade do ângulo vezes o raio
• s = 2r * sin(θ/2)
• s = 2 * 6 * sin(30°)
• s = 12 * 0.5
• s = 6 unidades

4. Corda = 8 unidades, distância do centro à corda = 3 unidades. Determine o raio.

Solução:

• Metade da corda = 8/2 = 4 unidades
• Seja r o raio (que queremos encontrar)
• Pelo Teorema de Pitágoras: r² = 4² + 3²
• r² = 16 + 9
• r² = 25
• r = 5 unidades

5. Raio = 10 unidades, corda = 12 unidades. Determine o ângulo central.

Solução:

• Metade da corda = 12/2 = 6 unidades
• Seja θ o ângulo central (que queremos encontrar)
• sin(θ/2) = (6/10) = 0.6
• θ/2 = arcsin(0.6) ≈ 36.87°
• θ = 2 * 36.87° ≈ 73.74°

Em todos os casos, usei:

1. Relações trigonométricas no círculo
2. Teorema de Pitágoras
3. Propriedades das cordas no círculo
4. Relação entre o ângulo central e o comprimento da corda

Estas fórmulas são fundamentais para resolver problemas envolvendo círculos e cordas:

• s = 2r * sin(θ/2) [relaciona corda, raio e ângulo]
• r² = (s/2)² + h² [relaciona raio, corda e altura]
• cos(θ/2) = h/r [relaciona ângulo, altura e raio]

Revisão: 1.1